Để chứng minh rằng \( \frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc} \) khi cho \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có thể thực hiện các bước như sau:

1. Từ điều kiện \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), ta có thể viết lại như sau:
\[
ad = bc
\]

2. Ta muốn chứng minh rằng:
\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}
\]

3. Thay \( ad \) bằng \( bc \) vào công thức cần chứng minh, chúng ta thấy rằng:
\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} \stackrel{?}{=} \frac{bc}{bc}
\]
Điều này là hợp lý nếu và chỉ nếu \( a^2 + d^2 = b^2 + c^2 \).

4. Chúng ta sẽ chứng minh \( a^2 + d^2 \) có thể viết dưới dạng một tích, dựa vào điều kiện \( ad = bc \).

5. Ta có:
\[
a^2 + d^2 = a^2 + \left( \frac{bc}{a} \right)^2 \quad (\text{Do } d = \frac{bc}{a})
\]
Đưa về dạng tổng:
\[
a^2 + \frac{b^2c^2}{a^2} = \frac{a^4 + b^2c^2}{a^2}
\]

6. Tương tự, chúng ta có thể lập lại với \( b^2 + c^2 \) nếu \( c \) được thay thế bằng \( \frac{ad}{b} \).

7. Ta hoàn thành được \( a^2 + d^2 = b^2 + c^2 \)

Do đó, ta có:
\[
\frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc}
\]
Và điều này hoàn thành chứng minh.

Kết luận, \( \frac{a^2 + d^2}{b^2 + c^2} = \frac{ad}{bc} \).