Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 3 + 2\sqrt{x^2 + 1} \), ta sẽ phân tích và tính toán như sau:

Biểu thức \( \sqrt{x^2 + 1} \) luôn lớn hơn hoặc bằng 1 vì \( x^2 \geq 0 \) (mọi số thực bình phương đều không âm). Như vậy, khi \( x = 0 \), ta có:
\[
\sqrt{x^2 + 1} = \sqrt{0 + 1} = \sqrt{1} = 1
\]

Khi đó, giá trị của \( A \) là:
\[
A = 3 + 2(1) = 3 + 2 = 5
\]

Vì \( \sqrt{x^2 + 1} \) tăng dần khi \( |x| \) tăng, giá trị \( A \) sẽ tăng theo \( |x| \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ đạt được khi \( x = 0 \).

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là:
\[
\boxed{5}
\]