Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \( n \), biểu thức

\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n
\]

chia hết cho \( 10 \).

Trước tiên, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức:

\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = 3^n \cdot 3^2 - 2^n \cdot 2^2 + 3^n - 2^n
\]
\[
= 9 \cdot 3^n - 4 \cdot 2^n + 3^n - 2^n
\]
\[
= (9 \cdot 3^n + 3^n) - (4 \cdot 2^n + 2^n)
\]
\[
= 10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n
\]

Từ đó, biểu thức trở thành:

\[
10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n
\]

Để chứng minh biểu thức này chia hết cho \( 10 \), ta chỉ cần chứng minh rằng

\[
10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{10}
\]

Ta phân tích thành phần \( 5 \cdot 2^n \) theo modulo \( 10 \):

- \( 2^n \) theo \( \pmod{10} \):
- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{4} \), \( 2^n \equiv 2 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 2 \pmod{4} \), \( 2^n \equiv 4 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 3 \pmod{4} \), \( 2^n \equiv 8 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{4} \), \( 2^n \equiv 6 \pmod{10} \)

Bây giờ ta tính \( 5 \cdot 2^n \) theo \( \pmod{10} \):

- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{4} \): \( 5 \cdot 2^n \equiv 5 \cdot 2 \equiv 10 \equiv 0 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 2 \pmod{4} \): \( 5 \cdot 2^n \equiv 5 \cdot 4 \equiv 20 \equiv 0 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 3 \pmod{4} \): \( 5 \cdot 2^n \equiv 5 \cdot 8 \equiv 40 \equiv 0 \pmod{10} \)
- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{4} \): \( 5 \cdot 2^n \equiv 5 \cdot 6 \equiv 30 \equiv 0 \pmod{10} \)

Như vậy, trong mọi trường hợp, \( 5 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{10} \).

Tiếp theo, ta nhận thấy rằng \( 10 \cdot 3^n \) cũng chia hết cho \( 10 \). Vì vậy, tổng kết lại:

\[
10 \cdot 3^n - 5 \cdot 2^n \equiv 0 - 0 \equiv 0 \pmod{10}
\]

Do đó,

\[
3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n
\]

chia hết cho \( 10 \) với mọi số nguyên dương \( n \).

Chúng ta đã hoàn thành chứng minh.