Cho ΔABC nhọn. Kẽ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Trên nửa mặt phẳng bội AH chứa điểm B, vẽ AD ⊥ AB sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng còn lại, vẽ AE ⊥ AC sao cho AE = AC. Kẽ DK ⊥ AH tại K, EM ⊥ AH tại M

Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước cẩn thận:

### a) Chứng minh \( DK = EM \)

1. **Xét tam giác vuông tại A**:
- Trong tam giác vuông \( \triangle AHB \), ta có \( AH \perp BC \) và \( AD \perp AB \). Do đó, \( \angle AHB = 90^\circ \).
- Tương tự, trong \( \triangle AHC \), ta có \( AE \perp AC \).

2. **Sử dụng định lý Pythagore**:
- Từ định nghĩa, ta có \( AD = AB \) và \( AE = AC \).
- Chú ý rằng \( DK \perp AH \) tại K và \( EM \perp AH \) tại M, do đó DK và EM đều vuông góc với đường AH.

3. **Chứng minh bằng hai tam giác vuông**:
- Xét tam giác vuông \( \triangle ADK \) và \( \triangle AEM \):
- Từ \( AD = AB \) và \( AE = AC \), suy ra \( AM = AD \) và \( AK = AE \).
- Chúng có chiều cao giống nhau từ cạnh \( AH \) đến các điểm \( D \) và \( E \). Do đó, ta có \( DK = EM \).

### b) Chứng minh I là trung điểm của DE

1. **Gọi I là giao điểm của AH và DE**:
- Hãy xét độ dài của đoạn DE. Ta cần chứng minh \( DI = EI \).

2. **Sử dụng tính chất của các đoạn vuông góc**:
- Vì \( AH \) là đường trung trực của \( DE \) (vì DK và EM đều vuông góc với AH), nên nếu kéo dài DE, nó cắt AH tại I.

3. **Kết luận**:
- Do AH là trung trực, \( DI = EI \), nên I là trung điểm của DE.

Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.