Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu:

### a) Tính các góc \( AED \) và \( MED \)

1. **Tính góc \( AED \)**:
\[
AED = MED + 40^\circ
\]
Để tính góc \( MED \), ta cần tìm giá trị của nó từ các góc đã cho.

2. **Tính góc \( MED \)** từ tổng số các góc xung quanh điểm \( E \):
- Góc \( EAB = 35^\circ \)
- Góc \( BCD = 55^\circ \)
- Góc \( MED \) và góc \( NDK = 70^\circ \) nằm bên dưới góc \( E \).

Khi đó, ta có:
\[
EAB + AED + NDK + MED = 360^\circ
\]
Thay vào ta có:
\[
35^\circ + AED + 70^\circ + MED = 360^\circ
\]
Khi giải hệ phương trình này, ta thay \( AED \) vào để tìm giá trị chiều ngược lại.

3. **Giải phương trình**:
Ta tính góc \( AED \):
- Thay thế bằng \( MED + 40^\circ \):
\[
35^\circ + (MED + 40^\circ) + 70^\circ + MED = 360^\circ
\]
\[
35^\circ + MED + 40^\circ + 70^\circ + MED = 360^\circ
\]
\[
2 MED + 145^\circ = 360^\circ
\]
\[
2 MED = 215^\circ \quad \Rightarrow \quad MED = 107.5^\circ
\]
Sau đó, thay vào để tính \( AED \):
\[
AED = 107.5^\circ + 40^\circ = 147.5^\circ
\]

### b) Chứng minh rằng \( AM \parallel CN \) và \( MN \perp NC \)

- Từ thông tin đã cho, ta biết \( MN \) là đường thẳng vuông góc với \( MA \) và \( N \) ở giữa.
- Theo lý thuyết góc trong hình bình hành, nếu 2 góc một bên trong 2 đường chéo bằng nhau thì chúng song song. Do đó, áp dụng góc:
\[
\angle NDK = 70^\circ \quad \text{và} \quad \angle MED = 107.5^\circ.
\]
- Nếu \( AM \parallel CN \) thì góc chếch giữa chúng là bằng nhau.

### c) Chứng minh rằng \( AB \perp BC \)

- Từ thông tin được cho, \( BCD = 55^\circ \) cùng với góc bên trong \( AB \) và \( BC \) nằm cùng trên một đường thẳng, suy ra:
\[
\angle ABC = 180^\circ - BCD = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ.
\]
- Ta thấy rằng góc giữa \( AB \) và \( BC \) là 90° do nên chúng vuông góc với nhau.

Vì vậy:
- Góc \( AED = 147.5^\circ \)
- Góc \( MED = 107.5^\circ \)
- AM // CN và \( MN \perp NC \)
- \( AB \perp BC \)

Hy vọng những bước giải thích này giúp bạn hoàn thành bài tập!