Để chứng minh \( HEFC \) là hình bình hành trong hình thang cân \( ABCD \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh \( HE \parallel CF \)**:
- Trong hình thang cân \( ABCD \), đường thẳng \( AB \) và \( CD \) song song với nhau (\( AB \parallel CD \)).
- \( AH \) là đường cao. Do đó, \( AH \perp BC \) và \( AH \perp AD \).
- Gọi \( O \) là điểm giữa của \( AB \) và \( P \) là điểm giữa của \( CD \). Ta có \( AE = ED \) và \( BF = FC \) vì \( E \) và \( F \) là trung điểm của \( AD \) và \( BC \).
- Hơn nữa, do hình thang cân, khoảng cách từ \( H \) đến \( AB \) sẽ bằng khoảng cách từ \( H \) đến \( CD \).
- Vì vậy, \( HE \) và \( CF \) đều nằm trên những đoạn thẳng song song với nhau, do đó \( HE \parallel CF \).

2. **Chứng minh \( HE = FC \)**:
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AD \) và \( F \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( AE = ED \) và \( BF = FC \).
- Trong hình thang cân, chiều dài của hai cạnh \( AD \) và \( BC \) là bằng nhau. Do đó, trong tam giác \( AHD \), \( H \) là điểm cắt của đường thẳng cao dẫn từ đỉnh \( A \) đến đáy \( CD \). Tương tự, ta cũng có trong tam giác \( BHC \).
- Có \( HE = FC \) vì \( HE \) và \( FC \) là hai đoạn thẳng nối từ trung điểm \( E \) của \( AD \) đến đường cao \( AH \) và từ trung điểm \( F \) của \( BC \) đến đáy \( CD \).

3. **Kết luận**:
- Từ hai kết luận trên, ta có \( HE \parallel CF \) và \( HE = CF \).
- Theo định nghĩa, với hai cạnh đối diện đều song song và bằng nhau, tứ giác \( HEFC \) là một hình bình hành.

Do đó, ta đã chứng minh được rằng \( HEFC \) là hình bình hành.