Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng yêu cầu:

### a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

Chúng ta cần chứng minh rằng AFHE có 4 góc vuông.

1. Vì AH là đường cao của ΔABC vuông tại A, nên góc AHB = 90°.
2. HE vuông góc với AB tại E, nghĩa là góc AHE = 90°.
3. HF vuông góc với AC tại F, nghĩa là góc AHF = 90°.

Do đó, ta có:
- Góc AHE = 90°.
- Góc AHF = 90°.
- Góc HAF = góc AHB - góc AHE = 90° - 90° = 0 (do AE và AF nằm trên các đường thẳng AB và AC).
- Góc HAE = 90° (do HE vuông góc với AB).

Như vậy, tứ giác AFHE có 3 góc vuông:
- Góc AHE, góc AHF và góc HAE.
- Điều này chứng tỏ rằng tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành.

Để chứng minh rằng AEFM là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng các cặp cạnh đối của nó bằng nhau hoặc các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng.

1. Từ phần a), ta biết rằng AF ⊥ HE và AE ⊥ HF. Do đó, trong tứ giác AFHE, AF và HE là hai cạnh đối diện và cùng vuông góc với các cạnh còn lại.

2. Khi kẻ điểm M trên tia đối với FH sao cho FH = FM, và điểm N trên tia đối với EH sao cho EH = EN, ta có:
- AM = AF + FM = AF + FH.
- AN = AE + EN = AE + EH.

3. Ta cũng có AM // EN vì M và E thuộc cùng một phương vuông góc với AF và rằng EN /// AF.

Từ đó, chúng ta có thể khẳng định rằng:
- Các cặp cạnh AE, FM và AF, EN đều bằng nhau, chứng tỏ AEFM là hình bình hành.

### c) Chứng minh A, M, N thẳng hàng.

Để chứng minh A, M, N thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lý về cạnh đối và góc trong hình tứ giác.

1. Từ việc AF = FM và AE = EN, ta có hai cạnh AE và AF bằng nhau.
2. Thêm vào đó, vì M và N được xác định từ các đường kính vuông góc bên dưới, góc AMN = góc AEF.

Sử dụng tính chất của hình bình hành:
- Nếu M và N được đánh giá về phương, thì A, M, N sẽ nằm trên cùng một đoạn thẳng.

Do đó, ta có A, M, N thẳng hàng.

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh thành công các phần yêu cầu:
- AFHE là hình chữ nhật.
- AEFM là hình bình hành.
- A, M, N thẳng hàng.