Để rút gọn biểu thức \( P \), ta có thể phân tích từng phần như sau:

Biểu thức của \( P \) được viết thành chuỗi như sau:

\[
P = 1 + \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{3}(1 + 2) + \frac{1}{4}(1 + 2 + 3) + \cdots + \frac{1}{16}(1 + 2 + \cdots + 16)
\]

Trong đó, tổng \( 1 + 2 + \cdots + n \) được tính bằng công thức:

\[
1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Áp dụng điều này, ta có:

- \( 1 = \frac{1(1 + 1)}{2} = 1 \)
- \( 1 + 2 = \frac{2(2 + 1)}{2} = 3 \)
- \( 1 + 2 + 3 = \frac{3(3 + 1)}{2} = 6 \)
- \( 1 + 2 + 3 + 4 = \frac{4(4 + 1)}{2} = 10 \)
- ...
- \( 1 + 2 + \cdots + 16 = \frac{16(16 + 1)}{2} = 136 \)

Thay thế vào biểu thức \( P \):

\[
P = 1 + \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{3} \times 3 + \frac{1}{4} \times 6 + \frac{1}{5} \times 10 + \cdots + \frac{1}{16} \times 136
\]

Tiến hành tính cụ thể từng thành phần:

1. \( 1 = 1 \)
2. \( \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \)
3. \( \frac{1}{3} \times 3 = 1 \)
4. \( \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2} \)
5. \( \frac{1}{5} \times 10 = 2 \)
6. \( \frac{1}{6} \times 15 = \frac{5}{2} \)
7. \( \frac{1}{7} \times 21 = 3 \)
8. \( \frac{1}{8} \times 28 = \frac{7}{2} \)
9. \( \frac{1}{9} \times 36 = 4 \)
10. \( \frac{1}{10} \times 45 = \frac{9}{2} \)
11. \( \frac{1}{11} \times 55 = 5 \)
12. \( \frac{1}{12} \times 66 = \frac{11}{2} \)
13. \( \frac{1}{13} \times 78 = 6 \)
14. \( \frac{1}{14} \times 91 = \frac{13}{2} \)
15. \( \frac{1}{15} \times 105 = 7 \)
16. \( \frac{1}{16} \times 136 = \frac{17}{2} \)

Cộng các giá trị này lại:

\[
P = 1 + \frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{7}{2} + 4 + \frac{9}{2} + 5 + \frac{11}{2} + 6 + \frac{13}{2} + 7 + \frac{17}{2}
\]

Kết quả là:

\[
P = 8 + 12.5 = 20.5
\]

Vậy, biểu thức \( P \) rút gọn được là \( 20.5 \).