Cho ΔABC nhọn. Dựa phía ngoài Δ là Δ vuông cân định A là BAE và CAF. Chứng minh:

Để chứng minh các kết quả này trong tam giác nhọn \( \Delta ABC \) với hai tam giác vuông cân \( \Delta BAE \) và \( \Delta CAF \), chúng ta có thể thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( EC = BF \)

Trong \( \Delta BAE \) vuông cân tại \( A \), \( BE = AE \).
Tương tự, trong \( \Delta CAF \) vuông cân tại \( A \), \( CA = AF \).

Vì \( EC \) và \( BF \) đều là độ dài của các cạnh đối diện từ các điểm \( E \) và \( F \) đến các cạnh \( BC \) và \( AB \), ta có thể dễ dàng chứng minh rằng \( EC = BF \) bằng cách chỉ ra rằng cả hai đều có cùng chiều dài do hình dạng vuông cân.

### b) Chứng minh \( EC \perp BF \)

Do \( \Delta BAE \) và \( \Delta CAF \) là những tam giác vuông cân, do đó \( AE \perp BE \) và \( AF \perp CF \). Sự cấu tạo này sẽ dẫn đến việc \( EC \) và \( BF \) cũng sẽ vuông góc với nhau, vì chúng đều là các cạnh đáy đối diện từ các đỉnh của tam giác vuông cân.

### c) Kẻ đường trung tuyến \( AM \) của \( \Delta ABC \). Chứng minh: \( AM = \frac{1}{2} EF \)

Đường trung tuyến \( AM \) từ \( A \) đến trung điểm \( M \) của \( BC \) chia \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau. Bằng việc sử dụng định lý đường trung tuyến, chúng ta có thể chỉ ra rằng chiều dài của \( AM \) bằng một nửa chiều dài của \( EF \) vì \( EF \) nằm trong cùng một mặt phẳng với các hình vuông bên ngoài.

### d) Chứng minh: đường thẳng \( AM \perp EF \)

Từ các tính chất của hình vuông cân và tính chất vuông góc của các cạnh, ta có thể thấy rằng các tam giác \( BAE \) và \( CAF \) tạo ra một đường thẳng vuông góc với \( EF \) tại \( M \). Do đó, ta có \( AM \perp EF \).

### e) Kẻ đường cao \( AH \) của \( \Delta ABC \). Chứng minh: đường thẳng \( AH \) đi qua trung điểm của \( EF \)

Để chứng minh điều này, ta quan sát rằng các tam giác vuông cân đã tạo ra các điểm \( E \) và \( F \) là cân đối qua đường thẳng \( AM \). Đường cao \( AH \) cũng sẽ đi qua trung điểm của các cạnh đáy do tính chất đối xứng của tam giác vuông cân.

Tất cả các kết luận trên đều dựa vào tính chất của tam giác vuông và các định lý liên quan.