Để chứng minh rằng \( m = 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 3, trước tiên chúng ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

Tổng của cấp số nhân có công thức:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong trường hợp của chúng ta, \( a = 2^1 = 2 \), \( r = 2 \), và \( n = 100 \). Do đó,

\[
m = 2 \frac{2^{100} - 1}{2 - 1} = 2(2^{100} - 1) = 2^{101} - 2
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem \( m \) có chia hết cho 3 hay không. Ta sẽ tính \( m \mod 3 \):

1. Tính \( 2^{101} \mod 3 \):
Ta biết rằng \( 2 \equiv 2 \mod 3 \).
\( 2^1 \equiv 2 \mod 3 \),
\( 2^2 \equiv 1 \mod 3 \).

Do đó, \( 2^{n} \mod 3 \) sẽ lặp theo chu kì: \( 2, 1, 2, 1, \ldots \).

Với \( n = 101 \) (là số lẻ), ta có \( 2^{101} \equiv 2 \mod 3 \).

2. Tính \( 2 \mod 3 \):
Rõ ràng là \( 2 \equiv 2 \mod 3 \).

Bây giờ tổng hợp lại:
\[
m = 2^{101} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( m \) chia hết cho 3. Điều này có nghĩa là \( m = 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{100} \) chia hết cho 3.

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh!