Biểu diễn lợi nhuận của nhà sản xuất bằng một hàm? Tìm giá bán để lợi nhuận của nhà sản xuất là lớn nhất và lợi nhuận lớn nhất đó là bao nhiêu?

Để biểu diễn lợi nhuận của nhà sản xuất bằng một hàm, chúng ta cần xác định một số yếu tố từ bài toán:

1. **Giá bán (x)**: Đặt giá bán một đĩa bằng \( x \) USD.
2. **Sản lượng (q)**: Nếu giá bán là 5 USD, sản lượng sẽ là 4000 đĩa. Với mỗi 1 USD tăng lên trong giá bán (tức là \( x = 5 + t \) với \( t \) là số USD tăng thêm), sản lượng sẽ giảm 400 đĩa. Do đó, sản lượng sẽ được mô tả như sau:
\[
q = 4000 - 400t
\]
và từ \( t = x - 5 \), ta có:
\[
q = 4000 - 400(x - 5) = 4000 - 400x + 2000 = 6000 - 400x
\]

3. **Chi phí**: Chi phí sản xuất là 2 USD mỗi đĩa, nên tổng chi phí sẽ là:
\[
C = 2q = 2(6000 - 400x) = 12000 - 800x
\]

4. **Doanh thu (R)**: Doanh thu là giá bán nhân với sản lượng:
\[
R = x \cdot q = x(6000 - 400x) = 6000x - 400x^2
\]

5. **Lợi nhuận (P)**: Lợi nhuận được tính bằng Doanh thu trừ Chi phí:
\[
P = R - C = (6000x - 400x^2) - (12000 - 800x)
\]
\[
P = 6000x - 400x^2 - 12000 + 800x = -400x^2 + 6800x - 12000
\]

### Bài toán tối ưu

Để tìm giá bán \( x \) để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm cực trị của hàm bậc 2 \( P(x) = -400x^2 + 6800x - 12000 \). Đỉnh của parabol (vì hàm này có hệ số \( x^2 \) âm) sẽ cho giá bán tối ưu.

Công thức tính hoành độ đỉnh \( x \):
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6800}{2 \cdot -400} = \frac{6800}{800} = 8.5
\]

### Tính lợi nhuận lớn nhất

Thay giá trị \( x = 8.5 \) vào hàm lợi nhuận:
\[
P(8.5) = -400(8.5)^2 + 6800(8.5) - 12000
\]
\[
= -400(72.25) + 57800 - 12000
\]
\[
= -28900 + 45800 - 12000
\]
\[
= 4900
\]

### Kết luận

1. **Giá bán tối ưu**: 8.5 USD.
2. **Lợi nhuận lớn nhất**: 4900 USD.