### Câu 15:

a) Giả sử số quyển vở thầy An dự định mua là \( x \), giá một quyển là \( y \). Tổng tiền dự kiến là \( x \cdot y \).

Khi giá giảm, mỗi quyển vở còn \( y - 2000 \) đồng. Khi đó, thầy An mua được \( x + 30 \) quyển. Tổng tiền vẫn là:

\[
(x + 30)(y - 2000) = xy
\]

Giải phương trình trên:

\[
xy + 30y - 2000x - 60000 = xy
\]
\[
30y - 2000x - 60000 = 0
\]
\[
30y = 2000x + 60000
\]
\[
y = \frac{2000x + 60000}{30} = \frac{200x + 6000}{3}
\]

b) Để thầy An phải trả cho cửa hàng số tiền là \( 30y - 60000 \).

### Câu 16:

a) Để chứng minh rằng tam giác \( AQHM \) là hình thang, ta cần chứng minh hai cạnh \( AH \) và \( QM \) song song. Vì \( A \) là điểm vuông góc với \( AC \) và \( B \) là điểm vuông góc với \( AC \), nên \( AH \) sẽ song song với đường thẳng chứa \( BQ \).

b) Tam giác \( AMB \) có gì? Để kiểm tra, ta cần biết các cạnh và góc của tam giác để kết luận về tính chất của nó.

c) Tam giác \( PIQ \) cần phải xét đến các dấu hiệu như đường trung tuyến, hình chiếu hoặc các tỉ lệ để chứng minh tính chất cụ thể.

Các bước cụ thể sẽ phụ thuộc vào các thông tin và giả thiết khác trong bài toán.