Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tính số đo các góc BAD và DCA

1. **Tam giác ABC:**
- Theo đề bài, tam giác ABC vuông tại A có \(\angle ABC = 60^\circ\). Do đó, \(\angle ACB = 30^\circ\) (vì tổng ba góc trong tam giác là \(180^\circ\)).

2. **Góc BAD:**
- Vì \(Ax \parallel BC\) và \(AD\) cắt \(BC\), áp dụng định lý góc đồng vị, ta có:
\[
\angle BAD = \angle ABC = 60^\circ.
\]

3. **Góc DCA:**
- Tam giác ADC là tam giác cân (vì \(AD = DC\)).
- Do \(\angle ADB + \angle DCA + \angle ADC = 180^\circ\).
- Trong đó, \(\angle ADB = \angle ABC = 60^\circ\).
- Do đó, \(\angle ADC = 180^\circ - \angle ADB - \angle DCA\).
- Vì ADC là tam giác cân, \(\angle DCA = \angle ADC\), nên ta có:
\[
\angle DCA + \angle DCA + \angle ADB = 180^\circ.
\]
- Gọi \(x = \angle DCA\):
\[
2x + 60^\circ = 180^\circ \implies 2x = 120^\circ \implies x = 60^\circ.
\]
- Vậy:
\[
\angle DCA = 60^\circ.
\]

### Kết quả:
- \(\angle BAD = 60^\circ,\quad \angle DCA = 60^\circ.\)

### b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

- Tứ giác ABCD có \(\angle BAD = \angle ABC = 60^\circ\) và \(\angle DCA = \angle ACB = 30^\circ\).
- Do đó, \(\angle BAD = \angle DCA\) và \(\angle ABC = \angle ADB\), từ đó ta suy ra rằng:
- AB // DC và AD = BC (nhờ tính chất của các góc đối diện).

=> ABCD là hình thang cân.

### c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác ADED là hình thoi

- Ta biết rằng:
- \(AD = DC\) (theo đề bài),
- \(AE = EB\) (do E là trung điểm của BC).
- Coi góc:
\[
\angle ABE = \angle ADB = 60^\circ \quad \text{và} \quad \angle ADE = 60^\circ.
\]
- Hơn nữa, ta có:
- \(AD = DC\) và \(AE = EB\), nên từ đó suy ra \(ABE = ADE = 60^\circ\).
- Vậy tứ giác ADED có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc đối diện bằng nhau, nên nó là hình thoi.

### Kết luận
- Số đo các góc là:
- \(\angle BAD = 60^\circ\),
- \(\angle DCA = 60^\circ\).
- Tứ giác ABCD là hình thang cân.
- Tứ giác ADED là hình thoi.