Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) có \( AM \) là tia phân giác góc \( A (M \in BC) \). Từ \( M \) lần lượt kẻ các đường thẳng song song với \( AB \) và \( AC \), các đường thẳng này cắt \( AC \) tại \( N \), cắt \( AB \) tại \( E \). Chứng minh rằng tứ giác \( AEMN \) là hình thoi

Để chứng minh tứ giác \( AEMN \) là hình thoi, ta thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh \( AE \parallel MN \)**:
- Từ \( M \), kẻ đường thẳng song song với \( AB \) cắt \( AC \) tại \( N \) (theo giả thiết).
- Do đó, \( AE \parallel MN \).

2. **Chứng minh \( AM \) là tia phân giác**:
- Vì tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nên \( AB = AC \).
- Do \( AM \) là tia phân giác, nên ta có \( \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = 1 \) (bởi vì \( AB = AC \)).
- Vậy \( BM = MC \).

3. **Chứng minh \( AN = AM \)**:
- Do \( AE \parallel MN \), ta có \( \angle AEM = \angle AMN \) (cùng một phía so với đường cắt \( AM \)).
- Đồng thời, ta cũng có \( \angle ANM = \angle AME \).
- Vì vậy, ta có hai góc ở \( A \) (từ \( A \) tới cả \( E \) và \( N \)) đều bằng nhau.

4. **Chứng minh \( EM = AN \)**:
- Từ sự tương tự của các tam giác \( \triangle AEM \) và \( \triangle AMN \):
- Ta có \( AE = MN \) (bởi cả hai đều song song và bằng nhau do tỉ lệ bằng với cạnh \( AM \)).
- Do đó, \( EM = AN \).

5. **Kết luận rằng tứ giác \( AEMN \) là hình thoi**:
- Từ các chứng minh trên, ta có \( AE = MN \) và \( AM = AN \).
- Tứ giác \( AEMN \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song, do vậy \( AEMN \) là hình thoi.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng tứ giác \( AEMN \) là hình thoi.