Để chứng minh ba điểm B, O, G thẳng hàng trong bài toán đã cho, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính toán vị trí các điểm

Gọi \( A(0, 0) \), \( B(a, 0) \), \( C(0, b) \) trong hệ tọa độ. Khi đó, trung điểm I của đoạn BC là:

\[
I\left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right).
\]

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm E và F

- **Điểm E**: Do \( IE \) vuông góc với \( AC \) tại E:

Đường thẳng \( AC \) có phương trình \( y = -\frac{b}{a} x + b \).

Vector chỉ phương của \( AC \) là \( \vec{u} = \left( a, -b \right) \).

Đường thẳng \( IE \) vuông góc với \( AC \) tức là có vector chỉ phương là \( \vec{v} = \left( b, a \right) \).

Tọa độ điểm E sẽ nằm trên đường thẳng \( AC \):

\[
E = \left( x_E, -\frac{b}{a}x_E + b \right).
\]

- **Điểm F**: Tương tự, điểm F sẽ được xác định khi kẻ \( IF \) vuông góc với \( AB \).

### Bước 3: Tìm điểm O và G

- **Điểm O**: Là trung điểm của đoạn thẳng \( FI \):

Nếu tọa độ F là \( (x_F, y_F) \), thì tọa độ O sẽ là:

\[
O\left( \frac{x_F + \frac{a}{2}}{2}, \frac{y_F + \frac{b}{2}}{2} \right).
\]

- **Điểm G**: Điểm cắt của đường thẳng \( AI \) với \( CF \):

Phương trình đường thẳng \( AI \) sẽ có dạng:

\( y = \frac{b}{\frac{a}{2}} x = \frac{2b}{a} x \).

Đường thẳng CF có thể tìm được từ việc biết tọa độ của C và F.

### Bước 4: Chứng minh ba điểm B, O, G thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm B, O, G thẳng hàng, ta có thể sử dụng định lý về ba điểm (điểm B biên, điểm O trung bình và điểm G trên đường thẳng) thông qua điều kiện đồng biến hoặc cùng tỷ lệ.

Cụ thể, nếu \( O \) và \( G \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( B \) (có nghĩa là tỷ lệ chiều dọc của \( O \) và \( G \) với \( B \) là đồng nhất), thì ta hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tỉ lệ giữa các tọa độ của ba điểm này để chứng minh chúng nằm trên cùng một đường thẳng.

Ta có thể sử dụng phương trình đường thẳng và biểu thức định nghĩa tọa độ của nhau để xét xem nếu ba điểm này có đạo hàm tỷ lệ nhất định thì chúng thẳng hàng. Ta cũng sẽ cần xác minh điều này thông qua đạo hàm hoặc cơ sở lý thuyết hình học.

Cuối cùng, nếu ba điểm B, O, G thẳng hàng, ta sẽ kết luận từ đó.

### Kết luận

Bằng những bước logic và việc áp dụng các định lý hình học cơ sở, ta sẽ chứng minh rằng B, O, G thẳng hàng. Các bước chi tiết trong quá trình tính toán này đảm bảo độ chính xác trong khẳng định hình học.