Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2x^2 - 4x + 2xy + y^2 + 2024 \), chúng ta có thể phân tích biểu thức này theo các biến \( x \) và \( y \).

Trước tiên, ta sẽ xem xét phần biểu thức không chứa hằng số:

\[
A = 2x^2 - 4x + 2xy + y^2 + 2024.
\]

Ta có thể nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \):

\[
A = 2x^2 + (2y - 4)x + (y^2 + 2024).
\]

Biểu thức trên có dạng một phương trình bậc hai theo \( x \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta sử dụng công thức tính tọa độ đỉnh của một parabola:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2y - 4}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2y}{4} = 1 - \frac{y}{2}.
\]

Giá trị của \( A \) tại điểm này là:

\[
A = 2 \left(1 - \frac{y}{2}\right)^2 + (2y - 4)\left(1 - \frac{y}{2}\right) + y^2 + 2024.
\]

Ta sẽ làm sạch biểu thức này bằng cách tính từng phần.

1. Tính \( 2 \left(1 - \frac{y}{2}\right)^2 \):

\[
2 \left(1 - \frac{y}{2}\right)^2 = 2 \left(1 - y + \frac{y^2}{4}\right) = 2 - 2y + \frac{y^2}{2}.
\]

2. Tính \( (2y - 4) \left(1 - \frac{y}{2}\right) \):

\[
(2y - 4) \left(1 - \frac{y}{2}\right) = (2y - 4) - (2y - 4) \frac{y}{2} = 2y - 4 - (y^2 - 2y) = -y^2 + 4.
\]

3. Kết hợp lại:

\[
A = \left(2 - 2y + \frac{y^2}{2}\right) + \left(-y^2 + 4\right) + y^2 + 2024.
\]

Simplifying the terms, ta có:

\[
A = 2 - 2y + \frac{y^2}{2} + 4 + 2024 = 2030 - 2y + \frac{y^2}{2}.
\]

Biểu thức này cũng có dạng bậc hai theo \( y \):

\[
A = \frac{1}{2}y^2 - 2y + 2030.
\]

Giá trị nhỏ nhất sẽ xảy ra tại:

\[
y = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2.
\]

Thay giá trị \( y = 2 \) vào biểu thức \( A \):

\[
A = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + 2030 = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 + 2030 = 2 - 4 + 2030 = 2028.
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( \boxed{2028} \).