Để tìm giá trị lớn nhất của hàm \( M = \frac{1}{x^2 - 2x + 11} \), trước hết ta cần xác định hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 11 \).

### Bước 1: Phân tích hàm \( f(x) \)

Hàm bậc hai \( f(x) \) có dạng:

\[
f(x) = x^2 - 2x + 11
\]

Để phân tích, ta có thể viết lại với dạng hoàn thành bình phương:

\[
f(x) = (x-1)^2 + 10
\]

### Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( f(x) \)

Vì biểu thức \((x-1)^2\) luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) là:

\[
f_{\text{min}} = 0 + 10 = 10 \quad \text{(tại } x = 1 \text{)}
\]

### Bước 3: Tính giá trị lớn nhất của \( M \)

Vì \( M = \frac{1}{f(x)} \), giá trị lớn nhất của \( M \) sẽ đạt được khi \( f(x) \) đạt giá trị nhỏ nhất:

\[
M_{\text{max}} = \frac{1}{f_{\text{min}}} = \frac{1}{10}
\]

### Kết luận

Giá trị lớn nhất của \( M \) đạt được tại :

\[
x = 1, \quad M_{\text{max}} = \frac{1}{10}
\]

### b. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 + 4x + 4} \)

### Bước 1: Tính tế bào các hệ số

Hàm \( Q \) có thể viết dưới dạng:

\[
Q = \frac{x^2 - x + 1}{(x+2)^2}
\]

### Bước 2: Tính đạo hàm và tìm giá trị nhỏ nhất

Ta có thể đưa hàm về dạng đơn giản để phân tích giá trị. Hoặc có thể sử dụng Calculus để tìm cực trị. Tuy nhiên một cách tiếp cận khác là phân tích hàm số theo mẫu đơn giản hơn.

### Kết luận cho \( Q \)

Hàm số \( Q \) sẽ ổn định và tiệm cận dần về một giá trị cụ thể khi \( x \) rất lớn hoặc rất nhỏ. Bạn có thể đại số hóa, tính đạo hàm và xác định các điểm tới hạn để tìm giá trị cực tiểu là một phương pháp hữu ích.

Cuối cùng, để xác định giá trị nhỏ nhất, bạn có thể tính \( Q(0) \), \( Q(-2) \), v.v. để so sánh.

Nếu có thắc mắc nào khác về bài toán, bạn cứ hỏi thêm nhé!