Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Từ D vẽ đường thẳng song song với AC, từ E vẽ đường thẳng song song với AB. Hai dường này cắt nhau tại M

Để giải quyết bài toán, ta sẽ phân tích từng phần một:

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Trong tam giác ABC, D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC. Theo định nghĩa, hai đoạn thẳng DE nối D và E chính là đoạn nối hai trung điểm.

Ta biết rằng đường thẳng từ D vẽ song song với AC (gọi là \(d_1\)) và đường thẳng từ E vẽ song song với AB (gọi là \(d_2\)). Vì D và E là trung điểm nên:

- DE || AC và DE = 1/2 AC (theo định lý trung bình).
- DC || AB và DE = 1/2 AB.

Cả hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại M. Theo tính chất của hai đường thẳng song song và các trung điểm, tứ giác ADME là hình chữ nhật (do góc nhọn tại D và E, đồng thời có hai cặp cạnh dài bằng nhau).

### b) Gọi O là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm E, O, M thẳng hàng.

Để chứng minh E, O, M thẳng hàng, ta sử dụng các tính chất của trung điểm và tính chất song song của các cạnh.

- D là trung điểm của AB, nghĩa là chúng ta có \(AD = DB\).
- E là trung điểm của AC, nghĩa là \(AE = EC\).
- O là trung điểm của CD, nghĩa là \(CO = OD\).

Vì DE || AC và EM || AB, ta có thể sử dụng định lý Thales, nói rằng nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác song song với một cạnh khác, thì nó chia hai cạnh kia thành những đoạn tỷ lệ.

Nên từ D và E chúng ta dễ dàng xác định rằng:

- \(DE\) chia chiều cao từ C xuống DE thành tỷ lệ.
- DO = OA do O là trung điểm của CD.

Do đó, E, O, M đều nằm trên đường thẳng nối các trung điểm, chứng tỏ ba điểm E, O, và M đồng phẳng.

### c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác ADME là hình vuông.

Để tứ giác ADME là hình vuông, chúng ta cần hai điều kiện:

1. **Các cạnh AD, DE, EM cần phải bằng nhau**.
2. **Các góc tại các đỉnh của tứ giác ADME cần là 90 độ**.

Để thỏa mãn điều kiện này:

- Xét tích vô hướng của hai vector AM và AD, từ đó suy ra rằng:

\[
\vec{AD} \cdot \vec{EM} = 0 \rightarrow AD \perp EM.
\]

- Điều kiện chiều dài:

\[
AD = DE = EM \quad \text{(vì AD=DB, DE = 1/2AC, EM = 1/2AB)}.
\]

Rõ ràng, để tứ giác ADME là hình vuông, tam giác ABC cần là tam giác vuông với C là góc vuông (hoặc một số điều kiện khác tương tự để thỏa mãn về chiều dài và góc).

Vậy tứ giác ADME là hình vuông khi tam giác ABC là tam giác vuông tại.

### Kết luận:

- a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
- b) E, O, M thẳng hàng.
- c) Tam giác ABC cần có điều kiện đặc biệt (chẳng hạn là tam giác vuông) để ADME là hình vuông.