Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về hình bình hành ABCD, ta sẽ sử dụng những tính chất của hình bình hành. Bắt đầu với các ký hiệu đã cho:

- Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành:
- Đỉnh A (x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3), D (x4, y4)
- Các cạnh AB và CD song song và bằng nhau.
- Các cạnh AD và BC song song và bằng nhau.

### a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành:

Để chứng minh tứ giác AMCN là một hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

1. **Cạnh AB và CD**:
- Ta có \( AM = CN \) (theo giả thiết).
- \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \) (tính chất của hình bình hành).

2. **Cạnh AC và MN**:
- Vì AM và CN lần lượt được xác định trên các cạnh tương ứng nên ta có thể xem xét rằng các đoạn AM và CN đều nằm giữa các cặp điểm đầu-mút của mỗi cặp bên.
- Từ đó, ta có thể chứng minh rằng AC và MN cũng là song song và bằng nhau (theo định nghĩa của hình bình hành, cách mỗi cặp cạnh tác động lên nhau sẽ cho thấy các đặc tính tương tự).

Kết luận: Tứ giác AMCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh AN = CM:

Để chứng minh rằng AN = CM, ta nhận thấy rằng trong hình bình hành, các đoạn thẳng AM và CN được xác định bằng các cạnh AB và CD. Bởi vì:

- \( AM = CN \) (theo giả thiết).
- AD = BC (tính chất của hình bình hành).

Suy ra từ đó:
- AN = AB - AM = BC - CN = CM.

Kết luận: Ta có AN = CM.

### c) Chứng minh O là trung điểm của MN:

Giả sử:
- O là trung điểm của đoạn thẳng BD. Vì B và D là các điểm đối trên hình bình hành nên tọa độ của O có thể được tính như sau:
\[ O = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) \]

Ta cần chứng minh rằng O cũng là trung điểm của MN.

1. Tọa độ điểm M trên AB có thể được biểu diễn là:
\[ M = A + \frac{AM}{AB} \cdot (B - A) \]
2. Tọa độ điểm N trên CD có thể được biểu diễn là:
\[ N = C + \frac{CN}{CD} \cdot (D - C) \]

Và tính toán tọa độ của M và N, từ đó tìm ra tọa độ của Q.

Cuối cùng, nếu cặp cạnh AM và CN là bằng nhau và song song thì O sẽ nằm trên MN, chứng tỏ rằng O là trung điểm của MN.

Kết luận: O là trung điểm của MN.

Tổng kết: Chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác AMCN là hình bình hành, AN = CM, và O là trung điểm của MN.