Cho tam giác ABC vuông tại. Biết AB= 4cm; BC=5cm. Giải tam giác ABC

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán này.

### Phần a) Giải tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A, với các cạnh AB và AC.

- **AB = 4 cm**
- **BC = 5 cm**

Để tìm độ dài cạnh AC (cạnh đối diện với góc vuông A), ta sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay các giá trị vào:

\[
5^2 = 4^2 + AC^2
\]

\[
25 = 16 + AC^2
\]

\[
AC^2 = 25 - 16 = 9
\]

\[
AC = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}
\]

Vậy tam giác ABC có các cạnh:
- **AB = 4 cm**
- **AC = 3 cm**
- **BC = 5 cm**

### Phần b) Kẻ đường cao AH

Khi kẻ đường cao AH, ta có thể sử dụng các phương trình liên quan đến các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

#### Chứng minh: AE.AB = AF.AC

Ta có:

- AE = AH (bởi vì H là chân đường cao)
- AH = AC được chia thành hai đoạn: AM và AN (nơi M và N là các điểm ngã ba tương ứng).

Theo định lý cạnh vuông, ta có:

\[
AH^2 = AF \cdot AC \quad \text{và} \quad AH^2 = AE \cdot AB
\]

=> từ đây, ta suy ra:

\[
AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

#### Chứng minh: \(BM \cdot AM + AN \cdot NC = AH^2\)

Từ cách kẻ đường cao AH, ta có:

1. BM và AN là độ dài các đoạn mà đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác nhỏ hơn.
2. Ta có thể áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác BMH và CNH.

\[
BM \cdot AM + AN \cdot NC = AH^2 = AE^2
\]

### Phần c) Chứng minh: sin BIA.sin BCA = HT / IC

1. Đặt **I** nằm trên đoạn NC và hạ đường vuông góc từ A tới BI, gọi điểm tiếp xúc là T.
2. Theo định nghĩa sin, ta có:

\[
\sin BIA = \frac{h}{BI}
\]
\[
\sin BCA = \frac{AH}{AC}
\]

3. Về mặt hình học, vẽ các đường cao và chú ý đến các góc vuông trong các tam giác tạo thành sẽ cho một tỉ số mà ta cần chứng minh.

Khi kết hợp các tỉ số này, ta có:

\[
\sin BIA \cdot \sin BCA = \frac{AH \cdot HT}{BI \cdot IC}
\]

Từ đó, nếu ta chứng minh được mối quan hệ giữa HT và IC và các thông số khác trong tam giác thì sẽ hoàn thành yêu cầu bài toán.

Tóm lại, bài toán có nhiều bước và cần một số hình ảnh trực quan để dễ dàng hình dung, nhưng một số phép chứng minh trên đã giúp ta thấy được mối liên hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông này.