Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = x - x^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định:**
Biểu thức này là một đa thức bậc 2, và miền xác định của nó là \( (-\infty, +\infty) \).

2. **Tìm đạo hàm:**
Tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 1 - 2x
\]

3. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị:**
\[
1 - 2x = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}
\]

4. **Tìm giá trị của hàm tại điểm cực trị và các giới hạn:**
Tính giá trị của hàm tại \( x = \frac{1}{2} \):
\[
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

5. **Kiểm tra giới hạn khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \):**
- Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to +\infty \)
- Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to -\infty \)

6. **Kết luận:**
Tại điểm \( x = \frac{1}{2} \), hàm đạt giá trị cực đại là \( \frac{1}{4} \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( x - x^2 \) là \( \frac{1}{4} \).