Tìm số nguyên tố p để các số 8p^2-1 và 8p^2+1 là số nguyên tố

Để tìm các số nguyên tố \( p \) sao cho \( 8p^2 - 1 \) và \( 8p^2 + 1 \) đều là số nguyên tố, ta có thể bắt đầu bằng cách xem xét một số giá trị của \( p \) là các số nguyên tố nhỏ.

1. **Khi \( p = 2 \)**:
\[
8p^2 - 1 = 8 \cdot 2^2 - 1 = 32 - 1 = 31 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8p^2 + 1 = 8 \cdot 2^2 + 1 = 32 + 1 = 33 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

2. **Khi \( p = 3 \)**:
\[
8p^2 - 1 = 8 \cdot 3^2 - 1 = 72 - 1 = 71 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8p^2 + 1 = 8 \cdot 3^2 + 1 = 72 + 1 = 73 \quad (\text{số nguyên tố})
\]

Cả hai đều là số nguyên tố, nên \( p = 3 \) là một giá trị thỏa mãn.

3. **Khi \( p = 5 \)**:
\[
8p^2 - 1 = 8 \cdot 5^2 - 1 = 200 - 1 = 199 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8p^2 + 1 = 8 \cdot 5^2 + 1 = 200 + 1 = 201 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

4. **Khi \( p = 7 \)**:
\[
8p^2 - 1 = 8 \cdot 7^2 - 1 = 392 - 1 = 391 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

5. **Khi \( p = 11 \)**:
\[
8p^2 - 1 = 8 \cdot 11^2 - 1 = 968 - 1 = 967 \quad (\text{số nguyên tố})
\]
\[
8p^2 + 1 = 8 \cdot 11^2 + 1 = 968 + 1 = 969 \quad (\text{không phải số nguyên tố})
\]

Tiếp tục kiểm tra với các số nguyên tố lớn hơn sẽ giúp xóa đi giá trị mà \( 8p^2 + 1 \) không là số nguyên tố. Nhìn chung, sau khi thử với một số nguyên tố nhỏ như \( 2, 3, 5, 7, 11 \), thì số nguyên tố duy nhất mà khi thay vào mang lại cả hai giá trị đều là số nguyên tố là \( p = 3 \).

Vậy số nguyên tố \( p \) cần tìm là:
\[
\boxed{3}
\]