Chứng minh rằng: -x^2 + 2x - 3 / 1 + x^2 < 0 với mọi x

Để chứng minh bất đẳng thức \(-\frac{x^2 - 2x + 3}{1 + x^2} < 0\) với mọi \(x\), ta sẽ phân tích tử số và mẫu số.

Xét phần tử số: \(-x^2 + 2x - 3\)

Đầu tiên, hãy tìm nghiệm của phương trình \(x^2 - 2x + 3 = 0\). Sử dụng công thức nghiệm, ta có:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

Vì \(\Delta < 0\) nên phương trình \(x^2 - 2x + 3 = 0\) không có nghiệm thực, tức là biểu thức \(x^2 - 2x + 3 > 0\) với mọi \(x\).

Chúng ta có thể viết lại tử số như sau:

\[
-x^2 + 2x - 3 = -(x^2 - 2x + 3)
\]

Vì đã biết \(x^2 - 2x + 3 > 0\) với mọi \(x\), nên:

\[
-(x^2 - 2x + 3) < 0
\]

Tiếp theo, xét mẫu số \(1 + x^2\). Mẫu số này luôn dương vì \(1 + x^2 > 0\) với mọi \(x\).

Từ đó, ta có:

\[
-\frac{x^2 - 2x + 3}{1 + x^2} < 0
\]

Do tử số là âm và mẫu số là dương, nên toàn bộ biểu thức rất rõ ràng là âm.

Vậy ta đã chứng minh rằng:

\[
-\frac{x^2 - 2x + 3}{1 + x^2} < 0 \quad \text{với mọi } x
\]