Để chứng minh các kết quả của bài toán đã cho, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác và một số định lý cơ bản.

### a) Chứng minh \(\triangle OAC = \triangle OBC\)

1. **Các cạnh tương ứng**:
- Ta có \(OA = OB\) (giả thiết).
- \(OC\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle OAC\) và \(\triangle OBC\).

2. **Góc tương ứng**:
- Xét góc \(\angle OAC\) và \(\angle OBC\).
- Do \(Om\) là tia phân giác, ta có:
\[
\angle OAC = \angle OBC
\]

3. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**:
Từ các yếu tố đã có, ta có:
- \(OA = OB\)
- \(\angle OAC = \angle OBC\)
- \(OC\) là cạnh chung.

Do đó, theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:
\[
\triangle OAC \cong \triangle OBC
\]

### b) Chứng minh \( OA = OB \) và \( CA = CB \)

1. **Từ kết quả trên**:
Từ việc \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\), ta rút ra các cặp cạnh tương ứng.
- Từ đó, có:
\[
AC = BC
\]
(vì \(A\) và \(B\) là hai điểm trên các tia \(OX\) và \(OY\) lần lượt).

2. **Chứng minh \(CA = CB\)**:
- Vậy từ \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\), ta có:
- \(CA = CB\)

Kết luận: Hai mệnh đề đã chứng minh xong.