Để chứng minh các nội dung trong bài toán, ta bắt đầu bằng các giả thiết đã cho.

### Giả thiết:
- Cho đoạn thẳng \( AB \) và đoạn thẳng \( MN \) vuông góc với nhau tại trung điểm \( O \) của mỗi đoạn.

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh: \( AM = NB \)

1. Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \), tức là \( AO = OB \).
2. Gọi \( O \) cũng là trung điểm của đoạn thẳng \( MN \), tức là \( MO = ON \).
3. Do đó, ta có:
\[
AO = OB \quad \text{và} \quad MO = ON
\]
4. Vì \( AB \) và \( MN \) vuông góc tại \( O \), ta có một tam giác vuông \( AOM \) và một tam giác vuông \( BON \).
5. Theo định lý Pytago, trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn hai cạnh còn lại.
6. Do đó, \( AM = AO + MO \) và \( NB = OB + ON \).
7. Do đó, \( AM = NB \).

#### b) Chứng minh: \( AM \parallel NB \)

1. Xét hai đoạn thẳng \( AB \) và \( MN \) vuông góc tại \( O \), nghĩa là góc \( AOB = 90^\circ \).
2. Bởi vì \( AM \) và \( NB \) là phần mở rộng của hai đoạn thẳng này, chúng sẽ tạo thành hai góc đồng vị.
3. Do đó, \( AM \parallel NB \).

#### c) Chứng minh: \( AM = NB = MB = AN \)

1. Theo phần đã chứng minh ở trên, ta có \( AM = NB \).
2. Cũng vì \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) nên \( OA = OB \) và \( MO = ON \).
3. Do đó, ta có thể ghi ra các đoạn:
\[
AB = AM + MB = NB + AN
\]
4. Điều này chứng minh \( AM = NB = MB = AN \).

#### d) Chứng minh: \( AM \parallel NB \)

1. Điểm này đã được chứng minh trong phần b, bằng cách xác định rằng \( AM \) và \( NB \) là các đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng vuông góc.
2. Ta đã có rằng \( AM \parallel NB \) vì tạo thành góc đồng vị khi hai đoạn \( AB \) và \( MN \) vuông góc tại \( O \).

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu trong bài toán:
1. \( AM = NB \)
2. \( AM \parallel NB \)
3. \( AM = NB = MB = AN \)
4. \( AM \parallel NB \)

Chứng minh hoàn tất.