Phân tích đa thức thành nhân tử

Để phân tích đa thức \( A = (2x + 1)(x + 1)(3x - 2)(6x - 7) + 6 \), ta sẽ thực hiện từng bước một.

### Bài 1
1. **Phân tích đa thức A thành nhân tử:**

Ta sẽ lần lượt nhân các biểu thức với nhau:

\[
(2x + 1)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 1
\]

Tiếp theo, ta nhân với \( (3x - 2) \):

\[
(2x^2 + 2x + 1)(3x - 2) = 6x^3 - 4x^2 + 6x^2 - 4x + 3x - 2 = 6x^3 + 2x^2 - x - 2
\]

Cuối cùng, ta nhân với \( (6x - 7) \):

\[
(6x^3 + 2x^2 - x - 2)(6x - 7)
\]

Tính toán theo từng hạng tử:

\[
36x^4 + 12x^3 - 6x^2 - 12x - 42x^3 - 14x^2 + 7x + 14
\]

Kết hợp các hạng tử giống nhau:

\[
36x^4 - 30x^3 - 20x^2 - 5x + 14
\]

Cuối cùng, cộng với số 6:

\[
36x^4 - 30x^3 - 20x^2 - 5x + 20
\]

2. **Tìm giá trị của biểu thức \( A = a^{2023} + b^{2023} + c^{2023} \) với điều kiện \( a + b + c = 1 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \):**

Theo điều kiện \( a + b + c = 1 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \), ta có:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

Thay vào, ta có:

\[
1^2 = 1 + 2(ab + ac + bc) \implies 0 = ab + ac + bc
\]

Từ đó, \( a, b, c \) chỉ có thể là 1 và hai trong số chúng là 0. Khi đó, một trong ba biến là \( 1 \) và hai biến còn lại là \( 0 \).

Vậy:

\[
A = 1^{2023} + 0^{2023} + 0^{2023} = 1
\]

### Bài 2
1. **Tìm đa thức \( f(x) \) chia cho \( x - 3 \):**

Theo giả thiết, \( f(x) \) chia cho \( x - 3 \) dư \( 10 \) và chia cho \( x + 2 \) dư \( -5 \). Nên ta có:

\[
f(3) = 10
\]
\[
f(-2) = -5
\]

Để giải bài, ta có thể viết \( f(x) = k(x - 3)(x + 2) + 10 \) và tìm \( k \).

2. **Tìm \( x \) biết \( (x^2 - 2x)^3 + (x - 12)^3 = (x^2 - x - 12)^3 \):**

Đây là một phương trình dạng đồng dạng. Ta cần tính toàn bộ ẩn số \( x \) để tìm ra nghiệm.

Rất có thể sẽ phải sử dụng định lý Viète hoặc tính toán từng trường hợp cụ thể để tìm ra nghiệm.

### Kết luận
Trên đây là phân tích đa thức và cách giải các bài toán liên quan. Nếu cần cụ thể hơn hoặc có câu hỏi nào khác, bạn cứ hỏi nhé!