Để chứng minh AD là đường phân giác trong của góc A trong tam giác ABC với các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng một số định lý và tính chất của hình học.

Cho tam giác ABC và điểm E thuộc tia đối của tia BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt cạnh BC tại D, và theo điều kiện cho trước, ta có tỉ số:

\[
\frac{EB}{EC} = \frac{DB}{DC}
\]

1. **Thiết lập các phần tử:**
- Gọi \( EB = m \) và \( EC = n \).
- Khi đó, theo tỉ số đã cho, ta có \( DB = k \cdot m \) và \( DC = k \cdot n \) cho một số dương \( k \).

2. **Chứng minh AD là đường phân giác:**
Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC}
\]

Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ABE và ECD. Theo định lý này, ta có:

\[
\frac{AB}{AC} \cdot \frac{CD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} = 1
\]

Từ điều kiện cho trước, chúng ta có thể thay vào trong biểu thức:

\[
\frac{AB}{AC} \cdot \frac{DC}{DB} \cdot \frac{EB}{EC} = 1
\]

Sử dụng tỉ số \(\frac{EB}{EC} = \frac{DB}{DC}\):

Thay \( \frac{EB}{EC} \) và \( \frac{DB}{DC} \) vào:

\[
\frac{AB}{AC} \cdot \frac{DC}{DB} \cdot \frac{DB}{DC} = 1
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC}
\]

Điều này chứng tỏ rằng AD chia góc A thành hai phần bằng nhau, tức là AD là đường phân giác trong của góc A.

Do đó, với các điều kiện trên, ta đã chứng minh thành công rằng đường thẳng AD là đường phân giác trong của góc A.