Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho \( 3^n + 19 \) là một số chính phương, giả sử \( 3^n + 19 = k^2 \) với \( k \) là số nguyên. Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
k^2 - 3^n = 19
\]

Để giải phương trình này, ta sẽ thử với một số giá trị của \( n \):

1. **Khi \( n = 0 \)**:
\[
3^0 + 19 = 1 + 19 = 20 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

2. **Khi \( n = 1 \)**:
\[
3^1 + 19 = 3 + 19 = 22 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

3. **Khi \( n = 2 \)**:
\[
3^2 + 19 = 9 + 19 = 28 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

4. **Khi \( n = 3 \)**:
\[
3^3 + 19 = 27 + 19 = 46 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

5. **Khi \( n = 4 \)**:
\[
3^4 + 19 = 81 + 19 = 100 = 10^2 \quad (\text{là số chính phương})
\]

6. **Khi \( n = 5 \)**:
\[
3^5 + 19 = 243 + 19 = 262 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

7. **Khi \( n = 6 \)**:
\[
3^6 + 19 = 729 + 19 = 748 \quad (\text{không phải số chính phương})
\]

Tiếp tục kiểm tra cho các giá trị lớn hơn của \( n \):

Dễ dàng nhận thấy rằng \( 3^n \) tăng rất nhanh. Kiểm tra \( n \geq 4 \), ta có:

- \( k^2 = 3^n + 19 \) có nghĩa là \( k \) sẽ gần bằng \( 3^{n/2} \) khi \( n \) lớn. Lập luận rằng sự cách biệt giữa \( k^2 \) và \( 3^n \) sẽ tăng lên nhanh chóng, do vậy ta kết luận rằng có thể chỉ có giới hạn giá trị của \( n \) thỏa mãn yêu cầu này.

### Kết luận:
Số tự nhiên duy nhất \( n \) sao cho \( 3^n + 19 \) là số chính phương là \( n = 4 \).