Trong không gian, cho hai vectơ a và b có độ dài bằng 1 và góc giữa hai vectơ đó bằng 45°

**Câu 73:**

Để tính giá trị của tích vô hướng \((\mathbf{a} + 3\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b})\), ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng và một số tính chất của vectơ.

Gọi \(\theta\) là góc giữa hai vectơ \(\mathbf{a}\) và \(\mathbf{b}\). Với \(\|\mathbf{a}\| = 1\), \(\|\mathbf{b}\| = 1\), và \(\theta = 45^\circ\), ta có:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(45^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Tính tích vô hướng:

\[
(\mathbf{a} + 3\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - 2\mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + 3\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} - 6\mathbf{b} \cdot \mathbf{b}
\]

Chúng ta có:

\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 1, \quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 1, \quad \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Thay vào phương trình:

\[
= 1 + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 6 \cdot 1
\]

\[
= 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} - 6
\]

\[
= 1 - 6 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}
\]

\[
= -5 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{2\sqrt{2}}{2} = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Vậy giá trị cuối cùng là:

\[
-5 + \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

---

**Câu 74:**

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có định nghĩa các vectơ \( \mathbf{AB}, \mathbf{AD}, \mathbf{A'} \) theo hướng \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \).

Ta biết:

\[
AB = 14, \quad AD = 12, \quad AA' = 18
\]

Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( C'D' \), khi đó:

\[
\text{Vị trí của } M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0, 1)
\]

Giá trị của biểu thức \( a + b + c \) sẽ phụ thuộc vào tọa độ cụ thể của điểm A, B, C và D.

---

**Câu 75:**

Xét các điểm:

\[
A(2;0;2), \quad B(0;2;0), \quad C(1;0;3)
\]

Để tính \( M \) là điểm trung bình của đoạn thẳng \( M^2 + MC^2 = MB^2 \).

Gọi \( P(x; y; z) \), ta cần tính các khoảng cách:

\[
MA^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 + (z - 2)^2
\]
\[
MB^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 0)^2
\]
\[
MC^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 + (z - 3)^2
\]

Cuối cùng, thay các giá trị và giải phương trình để tìm tọa độ của \( M \).

Bạn có thể hoàn thành các tính toán và tìm \( MP \) cho \( P(3; -2; 5) \) qua công thức khoảng cách tương tự.