Cho tam gIác ABC, M tùy ý. Chứng minh: vectơMA.vectơ BC + vectơMB.vectơCA + vectơMC.vectơAB = 0

Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các vào lý thuyết của hình học vector.

### a) Chứng minh vectơ MA . vectơ BC + vectơ MB . vectơ CA + vectơ MC . vectơ AB = 0

Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{M} \) lần lượt là các vectơ vị trí của các đỉnh tam giác \( A, B, C \) và điểm \( M \).

Theo định nghĩa, các vectơ như sau:

- \( \vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} \)
- \( \vec{MB} = \vec{B} - \vec{M} \)
- \( \vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} \)

Chúng ta cũng có các vectơ cạnh như sau:

- \( \vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} \)
- \( \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} \)
- \( \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \)

Ta cần chứng minh:

\[
\vec{MA} \cdot \vec{BC} + \vec{MB} \cdot \vec{CA} + \vec{MC} \cdot \vec{AB} = 0
\]

Thay thế các vectơ vào biểu thức:

\[
(\vec{A} - \vec{M}) \cdot (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{B} - \vec{M}) \cdot (\vec{A} - \vec{C}) + (\vec{C} - \vec{M}) \cdot (\vec{B} - \vec{A})
\]
Mở rộng từng hạng tử:

1. \( \vec{A} \cdot \vec{C} - \vec{A} \cdot \vec{B} - \vec{M} \cdot \vec{C} + \vec{M} \cdot \vec{B} \)
2. \( \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{C} - \vec{M} \cdot \vec{A} + \vec{M} \cdot \vec{C} \)
3. \( \vec{C} \cdot \vec{B} - \vec{C} \cdot \vec{A} - \vec{M} \cdot \vec{B} + \vec{M} \cdot \vec{A} \)

Khi cộng tất cả các hạng tử trên, các sản phẩm của vectơ với nhau sẽ triệt tiêu vì:

- \( \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} \)
- \( \vec{B} \cdot \vec{C} + \vec{C} \cdot \vec{B} \)
- \( \vec{C} \cdot \vec{A} + \vec{A} \cdot \vec{C} \)

Cuối cùng, tất cả các thành phần này đều triệt tiêu, điều này chứng minh rằng:

\[
\vec{MA} \cdot \vec{BC} + \vec{MB} \cdot \vec{CA} + \vec{MC} \cdot \vec{AB} = 0
\]

### b) Gỉa sử tam giác ABC đều, M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AB = a. Chứng minh MA² + MB² + MC² không đổi và tính giá trị biểu thức theo a.

Gọi \( O \) là trung điểm của đoạn \( BC \) và \( R \) là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABC \). Khi \( M \) di chuyển trên đường tròn này, ta có độ dài các đoạn từ \( M \) tới các đỉnh của tam giác ABC.

Đối với tam giác đều \( ABC \), có một tính chất đặc biệt rằng:

\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3R^2 + \frac{a^2}{3}
\]

Khi \( M \) di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp, \( R \) không thay đổi, do đó tổng \( MA^2 + MB^2 + MC^2 \) cũng không đổi.

Tính giá trị biểu thức:

Khi \( AB = a \), có thể tính:

\[
3R^2 = 3 \left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{a^2}{3}
\]
Vì vậy:

\[
MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3R^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{3} + \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3}
\]

Do đó, giá trị biểu thức \( MA^2 + MB^2 + MC^2 \) không đổi bằng \( \frac{2a^2}{3} \).

### Kết luận:

1. Chứng minh vectơ \( MA \cdot BC + MB \cdot CA + MC \cdot AB = 0 \) đã hoàn thành.
2. Chứng minh \( MA^2 + MB^2 + MC^2 = 2R^2 + a^2 \) với \( A, B, C \) đều là một tam giác đều đã hoàn thành.