Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4;3), B(0;-5), C(-6;-2)

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng mục a, b, c:

### a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại B.

1. **Tính độ dài các cạnh**:
- \( AB = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)
- \( BC = \sqrt{(0 - (-6))^2 + ((-5) - (-2))^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \)
- \( AC = \sqrt{(4 - (-6))^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{(4 + 6)^2 + (3 + 2)^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \)

2. **Kiểm tra điều kiện vuông góc**:
- Sử dụng định lí Pythagore: Nếu \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \), thì tam giác vuông tại B.
- Tính:
- \( AB^2 = (4\sqrt{5})^2 = 80 \)
- \( BC^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45 \)
- \( AC^2 = (5\sqrt{5})^2 = 125 \)

Ta có:
\[
AB^2 + BC^2 = 80 + 45 = 125 = AC^2
\]
Vậy tam giác ABC vuông tại B.

### b) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tính bằng giao điểm của các trung trực:

1. Tính trung trực của các cạnh, ta có thể chọn các cạnh AB và AC.
2. **Đường trung trực AB**:
- Độ dốc của AB:
\[
k_{AB} = \frac{3 - (-5)}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2
\]
- Đường thẳng vuông góc với AB sẽ có độ dốc là \(-\frac{1}{2}\).

Sử dụng điểm trung điểm \( M_{AB} \left( 2, -1 \right) \):
- Phương trình trung trực AB:
\[
y + 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies y = -\frac{1}{2}x + 1
\]

3. **Đường trung trực AC** (tính tương tự):
- Độ dốc của AC:
\[
k_{AC} = \frac{3 - (-2)}{4 - (-6)} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\]
- Đường thẳng vuông góc với AC có độ dốc \(-2\).

Sử dụng điểm trung điểm \( M_{AC} ( -1, 0.5 ) \):
- Phương trình trung trực AC:
\[
y - 0.5 = -2(x + 1) \implies y = -2x - 1.5
\]

4. **Giải hệ phương trình** để tìm giao điểm của hai đường thẳng trên:
\[
-\frac{1}{2}x + 1 = -2x - 1.5
\]
Giải ra \( x = -\frac{5}{3} \), và thế vào một trong các phương trình tìm \( y \).

### c) Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là giao điểm của các đường phân giác.

1. Sử dụng công thức tính giao điểm từ các điểm A, B, C.
2. Tính tỉ lệ từ độ dài các cạnh đối diện.

Qua các bước trên, ta có thể tìm ra tọa độ chính xác cho từng tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp. Nếu có cần làm rõ từng bước, cứ cho biết để mình chi tiết hơn!