Để chứng minh rằng với mọi \( x \in \mathbb{Q} \), giá trị biểu thức

\[
A = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + 1
\]

là bình phương của một số hữu tỷ, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Biến đổi biểu thức \( A \)**:
\[
A = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) + 1
\]
Đặt \( y = x^2 + 5x \), ta có:
\[
A = (y + 4)(y + 6) + 1
\]

2. **Mở rộng biểu thức**:
\[
A = (y^2 + 10y + 24) + 1 = y^2 + 10y + 25
\]

3. **Nhận dạng**:
\[
A = (y + 5)^2
\]

4. **Biểu thức của \( A \)**:
Thay \( y = x^2 + 5x \) vào, ta có:
\[
A = (x^2 + 5x + 5)^2
\]

5. **Kết luận**:
Ở đây, \( A \) được viết dưới dạng một bình phương:
\[
A = \left(x^2 + 5x + 5\right)^2
\]
Vì \( x \in \mathbb{Q} \), \( x^2 + 5x + 5 \) cũng là một số hữu tỷ. Do đó, \( A \) là bình phương của một số hữu tỷ.

Vậy ta đã chứng minh rằng với mọi \( x \in \mathbb{Q} \), \( A \) luôn là bình phương của một số hữu tỷ.