Chúng ta sẽ giải từng phần một trong bài toán về tam giác ABC cân tại A.

### a. Chứng minh tam giác AKB = tam giác AKC và AK vuông góc BC.

1. **Chứng minh \( AKB = AKC \)**:
- Vì tam giác \( ABC \) là tam giác cân tại \( A \), suy ra \( AB = AC \).
- \( K \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BK = CK \).
- Ta có \( AK \) chung cho cả hai tam giác \( AKB \) và \( AKC \).
- Từ đó, ta có \( AB = AC \), \( BK = CK \) và \( AK \) chung, suy ra theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS) ta có:
\[
\triangle AKB \cong \triangle AKC
\]

2. **Chứng minh \( AK \perp BC \)**:
- Để chứng minh \( AK \perp BC \), ta quan sát rằng \( K \) là trung điểm của \( BC \).
- Từ tính chất của tam giác cân \( AK \) phải là đường phân giác đồng thời là đường cao.
- Điều này có nghĩa rằng \( AK \) vuông góc với \( BC \).
- Vậy, \( AK \perp BC \).

### b. Chứng minh tam giác AKC = tam giác HKB và AC // BH.

1. **Chứng minh \( \triangle AKC \cong \triangle HKB \)**:
- Ta đã có \( \triangle AKC \cong \triangle AKB \) từ phần trước, và \( AK = AK \).
- \( KH = KA \) (do điểm \( H \) được lấy trên tia đối của \( KA\) sao cho \( KH = KA\)).
- \( BK = CK \).
- Do đó, \( AK = AK \) và \( KH = KA \) thì:
\[
\triangle AKC \cong \triangle HKB \quad (CCS)
\]

2. **Chứng minh \( AC // BH \)**:
- Từ việc \( \triangle AKC \cong \triangle HKB \), suy ra các góc tương ứng cũng bằng nhau:
- \( \angle AKC = \angle HKB \).
- Chúng ta đã biết \( \angle AKC \) là một góc ngoài của tam giác \( AKC \), do đó ta có:
\[
AC // BH
\]

### c. Kẻ KM vuông góc AC; KN vuông góc BH (M thuộc AC; N thuộc BH). Chứng minh K là trung điểm của MN.

1. **Kẻ KM vuông góc AC và KN vuông góc BH**:
- Khi kẻ \( KM \perp AC \), điểm \( M \) sẽ là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \( K \) đến đường thẳng \( AC \).
- Tương tự, điểm \( N \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \( K \) đến đường thẳng \( BH \).

2. **Chứng minh K là trung điểm của MN**:
- Xét tam giác \( AKB \) và \( AKC \), ta đã chứng minh rằng \( \triangle AKB = \triangle AKC \).
- Do đó, \( M \) và \( N \) nằm trên đường thẳng \( AC \) và \( BH \) sẽ làm cho độ dài từ \( A \) đến \( C \) bằng độ dài từ \( B \) đến \( H \).
- \( K \) sẽ nằm chính giữa \( MN \) bởi vì \( K \) là trung điểm của \( BC \) và \( BH \) là đường song song với \( AC \).
- Ta có: \( KM = KN \) với \( K \) là trung điểm của \( MN \).

Do đó, ta nhận được kết luận rằng \( K \) là trung điểm của \( MN \).

Vậy hoàn thành toàn bộ bài toán!