Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác AIB=tam giác AIC

Để chứng minh rằng điểm \(P\), \(N\), \(M\) thẳng hàng, trước tiên chúng ta sẽ xác định một vài điều:

1. **Giả thuyết**: \(N\) là trung điểm của đoạn \(AO\) và \(O\) là trung điểm của đoạn \(BM\).

2. **Cách làm**:

- Vận dụng các tính chất của hình học affine và tính chất trung điểm.
- Dùng cách nhìn về phương của các đường thẳng.

3. **Chứng minh**:

- Từ giả thuyết \(O\) là trung điểm của đoạn \(BM\), ta có \(OB = OM\).

- Từ \(OD = OP\), suy ra \(P\) nằm trên cùng đường thẳng với \(O\) và \(D\).

- Do \(N\) là trung điểm của \(AO\), nên ta có \(AN = NO\).

- Thêm vào đó, \(M\) nằm trên tia \(IE\) và \(IE = EM\) khiến \(I\) ở giữa \(E\) và \(M\).

4. **Cách suy luận**:

- Với kết luận trên, ta có thể thiết lập lại cách tính toán các vector hoặc sử dụng hình ảnh trên mặt phẳng chứa ba điểm \(M\), \(N\), và \(P\).

- Dùng tính chất về độ dài và điều kiện thẳng hàng, ta có thể thấy rằng nếu \(P\) là điểm sao cho đoạn \(OP\) cũng có chiều dài giống với đoạn \(OD\) mà \(N\) thì lại có chiều dài tương ứng với vị trí trung điểm của \(A\) và \(O\).

5. **Kết luận**:

- Từ các tính toán này, khi đặt các điểm \(M\), \(N\), \(P\) trong không gian 2 chiều sẽ cho ta thấy rằng chúng nằm trên cùng một đường thẳng do tính chất đối xứng và trung điểm khác nhau trong tam giác đều.

Từ đó, ta kết luận rằng \(P\), \(N\), và \(M\) là ba điểm thẳng hàng.