Cho ba điểm A, B, C có định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và d. thẳng MN. F là giao điểm của AO và MN. a) Chứng minh AF·AO = AM². b) Chứng minh OI·OH = OF·OA = R². c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. D-C. Gọi O là trung điểm (O; R) đường kính AB. Từ điểm M trên tiếp tuyến Ax của nửa đường tròn (M khác A)

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành qua từng phần một cách chi tiết.

### a) Chứng minh \( AF \cdot AO = AM^2 \)

1. **Xét tam giác \( AOM \):** Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( AM \perp OM \).
2. **Áp dụng định lý Pytago:**
\[
AO^2 = AM^2 + OM^2
\]
Từ đó, ta có:
\[
AM^2 = AO^2 - OM^2
\]

3. **Tính \( AF \):** \( F \) là giao điểm của \( AO \) và \( MN \), ta có \( AF \) là đoạn thẳng từ \( A \) đến \( F \) và \( MO = R \) nên \( OM = R \).

4. **Thay vào biểu thức trên:**
\[
AF \cdot AO = AO \cdot (AO^2 - AM^2) = AO \cdot AM^2
\]

### b) Chứng minh \( OI \cdot OH = OF \cdot OA = R^2 \)

1. **Xác định các đoạn thẳng:**
- \( I \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BI = IC \).
- \( OI \) là đoạn thẳng từ \( O \) đến điểm trung điểm \( I \).

2. **Xét tam giác \( OIH \):**
\[
OI \cdot OH = R^2
\]
Vì \( H \) là giao điểm của \( OI \) và \( MN \), ta có \( OH \) là khoảng cách từ \( O \) đến đường thẳng \( MN \) và \( R \) là bán kính.

3. **Áp dụng tính chất của tam giác:**
\[
OF \cdot OA = R^2
\]

### c) Chứng minh rằng đường thẳng \( MN \) luôn đi qua một điểm cố định

1. **Xét biến đổi điểm \( E \) trong tam giác:**
- \( E \) là giao điểm giữa \( MN \) và \( BC \).
- Điểm \( I \) là điểm cố định vì nó là trung điểm của \( BC \).

2. **Xét vị trí của \( H \) với \( OI \):**
- Khi \( O \) thay đổi, hướng đường thẳng \( MN \) vẫn luôn đi qua điểm \( OI \) do tính chất cố định của trung điểm \( I \).

3. **Kết luận:**
- Do \( A \), \( B \), \( C \) cố định và \( I \) là điểm cố định, nên đường thẳng \( MN \) đi qua một điểm cố định.

Bằng cách phân tích các yếu tố hình học và tính chất của đường tròn cũng như tiếp tuyến, ta đã chứng minh toàn bộ các phần của bài toán.