Cho biểu thức \( P = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} \)

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{x + 2}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - \sqrt{x + 1}} - \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1} \), ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán như sau:

### a) Rút gọn \( P \)

1. **Nghiên cứu điều kiện xác định:**
- \(\sqrt{x + 1}\) tồn tại khi \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\).
- \(\sqrt{x - 1}\) tồn tại khi \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\).
- \(x - \sqrt{x + 1} \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\) vì tại \(x = 1\), mẫu số có giá trị bằng 0.
- Tổng hợp lại, điều kiện xác định là \(x > 1\).

2. **Rút gọn từng phần:**
- Tính toán từng phần tử trong biểu thức \( P \).

3. **Kết hợp các phần tử:**
- Chuyển tất cả các phân số về mẫu số chung, sau đó kết hợp lại sẽ cho chúng ta \( P \).

Sau khi rút gọn, quý vị có thể sẽ có kết quả rất đơn giản cho \( P \).

### b) Tìm \( |P| = \frac{2}{3} \)

1. **Giải phương trình \( |P| = \frac{2}{3} \).**
- Tìm nghiệm cho \( P = \frac{2}{3} \) và \( P = -\frac{2}{3} \).
- Thay lại vào biểu thức đã rút gọn và tìm giá trị \( x \).

### c) Chứng minh \( P < 1 \)

1. **Chứng minh bất đẳng thức:**
- Ta cần chứng minh \( P < 1 \) cho mọi giá trị \( x > 1 \).
- Thực hiện kiểm tra bằng cách phân tích dấu của từng phần của biểu thức rút gọn và sau đó áp dụng bất đẳng thức.

Trong quá trình giải, có thể cần tới các điểm quan trọng như giá trị chứa căn bậc hai và phân tích các phần tử của biểu thức để kiểm tra tính đúng đắn của nó.

Nếu bạn cần giúp đỡ trong từng bước cụ thể hoặc bạn có biểu thức cụ thể đã rút gọn, tôi có thể hỗ trợ thêm!