Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) ( 2R < OM < 2,5R ), kẻ các tiếp tuyến MA, MB của đường tròn ( O ) ( B,A là các tiếp điểm )

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng phần.

### a) Chứng minh OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Gọi O là tâm của đường tròn (O; R) và M là điểm nằm ngoài đường tròn với các tiếp tuyến MA và MB. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

- MA vuông góc với OA tại A
- MB vuông góc với OB tại B

Với M nằm ngoài đường tròn, đoạn thẳng OM sẽ cắt đoạn thẳng AB tại một điểm trung điểm, tức là OM sẽ là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Điều này có thể được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng MA = MB và góc MOA = góc MOB. Điều này cho thấy M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

### b) Chứng minh MB² = MD.ME và góc ADM = góc MAE

Trong tam giác MAB, theo định lý tiếp tuyến, ta có:

\[ MB^2 = MA^2 \]

Chúng ta biết rằng:

- Điểm E là giao điểm của đường kính BE với đường tròn.
- D là giao điểm của ME với đường tròn.

Trong tam giác MDE, chúng ta có:

\[ MD^2 = ME \cdot MB \]

Từ đó, suy ra:

\[ MB^2 = MD \cdot ME \]

Về phần góc, ta có:

- Góc ADM = góc VMA = góc MAE, do hai góc này đều có cạnh chung là MA và nằm bên trong tam giác MDB.

### c) Tính diện tích hình quạt tròn AOB

Diện tích của một hình quạt tròn được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \theta
\]

Trong đó \( \theta \) là số radian của góc AOB. Để tính được \( \theta \), ta chuyển đổi từ độ dài cung nhỏ AB = \( \frac{2\pi R}{3} \) sang số radian:

Độ dài cung AB liên quan đến góc AOB qua công thức:

\[
L = R \cdot \theta
\]

Thay vào đó:

\[
\frac{2\pi R}{3} = R \cdot \theta \implies \theta = \frac{2\pi}{3}
\]

Bây giờ, thay vào công thức diện tích hình quạt:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi R^2}{3}
\]

### Kết luận

- Diện tích hình quạt tròn AOB là \( \frac{\pi R^2}{3} \).