Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( l \) cm và chiều rộng là \( w \) cm.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh thêm 1 cm thì diện tích sẽ thêm 13 cm²:
\[
(l + 1)(w + 1) - lw = 13
\]
Rút gọn phương trình này:
\[
lw + l + w + 1 - lw = 13 \implies l + w + 1 = 13 \implies l + w = 12 \quad (1)
\]

2. Nếu giảm chiều dài 2 cm và giảm chiều rộng 1 cm, thì diện tích sẽ giảm 15 cm²:
\[
(l - 2)(w - 1) - lw = -15
\]
Rút gọn phương trình này:
\[
lw - l - 2w + 2 - lw = -15 \implies -l - 2w + 2 = -15 \implies -l - 2w = -17 \implies l + 2w = 17 \quad (2)
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình hai ẩn:
\[
\begin{align*}
(1) & \quad l + w = 12 \\
(2) & \quad l + 2w = 17
\end{align*}
\]

Từ phương trình (1), ta có \( l = 12 - w \). Thay vào phương trình (2):
\[
12 - w + 2w = 17
\]
Giải phương trình này:
\[
12 + w = 17 \implies w = 5
\]

Thay \( w = 5 \) vào phương trình (1) để tìm \( l \):
\[
l + 5 = 12 \implies l = 7
\]

Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là:
\[
\text{Chiều dài } l = 7 \text{ cm, chiều rộng } w = 5 \text{ cm.}
\]

Đáp án cuối cùng là chiều dài là 7 cm và chiều rộng là 5 cm.