Rút gọn P? Tìm x để \(|P| = 2\)? Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định, thì \( P < 1 \)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Rút gọn P

Biểu thức \( P \) được cho bởi:

\[
P = \frac{x + 2}{x\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}
\]

Để rút gọn, trước tiên cần xác định các điều kiện để biểu thức \( P \) xác định:

1. \( x + 1 > 0 \) hay \( x > -1 \)
2. \( x - 1 \geq 0 \) hay \( x \geq 1 \)

Do đó, \( x \) phải từ 1 trở lên.

Bây giờ, ta rút gọn biểu thức. Với các phân số, ta sẽ tìm tối giản từng phần.

\[
P = \frac{x + 2}{x\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 1}
\]

Thực hiện rút gọn bằng cách quy đồng và gộp các phần lại.

### b) Tìm x để \(|P| = \frac{2}{3}\)

Giải phương trình \(|P| = \frac{2}{3}\). Sau khi đã rút gọn \( P \), ta cần giải bằng cách lập phương trình và tìm nghiệm \( x \) thoả mãn điều kiện:

1. Tính giá trị của \( P \)
2. Giải phương trình \(|P| = \frac{2}{3}\)

### c) Chứng minh rằng với những giá trị của x làm cho P được xác định, thì \( P < 1 \)

Để chứng minh điều này, ta sẽ:

1. Xem xét biến thiên của hàm \( P \) trong khoảng xác định của \( x \)
2. Chứng minh rằng với mọi giá trị \( x \) trong khoảng đó, \( |P| < 1 \).

---

Bạn có thể bắt đầu từ bước a) và rút gọn \( P \). Nếu cần, tôi sẽ giúp bạn chi tiết hơn từng bước.