Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn(O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn(O). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tia AO cắt đường tròn (O) tại M, N (M nằm giữa A và N)

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học liên quan đến đường tròn, tiếp tuyến và các đoạn thẳng trong hình.

### 1. Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO \)

Trước tiên, chúng ta xét các thông tin đã cho:
- \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) từ điểm A, tức là \( AB \perp OB \) và \( AC \perp OC \).
- H là giao điểm của OA và BC.

**Bước 1.** Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
AB^2 = AO^2 - R^2
\]
vì \( AO \) là đoạn thẳng nối A đến tâm O và R là bán kính.

**Bước 2.** M và N là các điểm mà tia AO cắt đường tròn (O) tại M và N, với \( M \) nằm giữa \( A \) và \( N \). Ta có:
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO
\]
đó là sản phẩm của các đoạn thẳng từ điểm A. Từ định lý Thales trong tam giác BAH và C, ta có:
\[
AB \cdot AC = AH \cdot AO
\]
Bởi vì \( AB = AC \), ta có thể viết lại là:
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO
\]

### 2. Chứng minh \( AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \)

Từ công thức trên, kết hợp với đẳng thức về đoạn tiếp tuyến:
\[
AH \cdot AO = AB^2 = AO^2 - R^2
\]

### 3. Kết luận

Như vậy, từ các bước chứng minh trên, chúng ta có:
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2
\]

Điều này chứng tỏ rằng \( AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \), hoàn thành yêu cầu chứng minh.

### Kết quả
Chúng ta có được các đẳng thức đã được yêu cầu, hoàn toàn thoả mãn.