Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu như sau:

1) **Chứng minh EK là đường trung bình của tam giác ABC.**

- Theo định nghĩa, đường trung bình của một tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh tam giác đó.
- Ta biết E là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC.
- Theo định lý đường trung bình trong tam giác, EK sẽ song song với cạnh BC và có độ dài bằng nửa độ dài của BC.
- Vậy, EK là đường trung bình của tam giác ABC.

2) **Đường thẳng EK cắt AH tại I. Chứng minh I là trung điểm của AH.**

- Ta có hai tam giác ABE và AKC.
- EK là đường trung bình nên ta có:
- \( AE = EB \) và \( AK = KC \).
- Theo định lý, hai tam giác ABE và AKC có chiều cao AH chia đều cho I.
- Do đó, I là điểm chia AH thành hai đoạn bằng nhau, tức là I là trung điểm của AH.

3) **Biết BC = 10 cm. Tính EK.**

- Từ điều đã chứng minh ở bước 1, EK là đường trung bình của tam giác ABC.
- Ta có công thức: \( EK = \frac{1}{2} BC \).
- Vì BC = 10 cm nên:
\[
EK = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm}.
\]

Tóm lại:

1. EK là đường trung bình của tam giác ABC.
2. I là trung điểm của AH.
3. EK = 5 cm.