Bài 14. Trong không gian cho ba điểm \(A, B, C\).
a) Xác định điểm \(G\) sao cho \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.\)
b) Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2\), với \(k\) là hằng số.
Giải
a) Ta có
\(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  +2(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {CB} \)
Gọi \(D\) là điểm mà \(\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {CB} \) tức là điểm \(B\) là trung điểm của \(CD\) thì \(G\) là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(ACDG\).
b) Gọi \(G\) là điểm trong câu a): \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).
Ta có: \(M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2}\)
\(= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \);
\(M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2}\)
\(= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \);
\(M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2} \)
\(= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \).
Từ đó \(MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2\)
\( \Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} \)
\(+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}\)
\( \Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})\) 
vì \(\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).
Do vậy:
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0\) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0\) thì tập hợp M chính là điểm G.
Nếu \(k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0\) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.