Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 3 (trang 71 SGK Hình học 11): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G₁ và G₂ lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) Chứng minh G₁ và G₂ chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.

d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và ΔA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.

Lời giải:

A’B // D’C và D’C ⊂ (B’D’C) => A’B // (B’D’C)      (1)

BD // B’D’ và B’D’ ⊂ (B’D’C) => BD // (B’D’C)      (2)

A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’)      (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD của hình bình bình hành ABCD, ta có A’O ⊂ (A’ACC’). Trong mặt phẳng (A’ACC’) hai đường thẳng A’O và AC’ cắt nhau tại điểm G₁, G₁ ∈ A’O và A’O ⊂ (BDA’)=> G₁ ∈ (BDA’),G₁ ∈ AC’

Vậy G₁ ∈ AC’ ∩ (BDA’)

Tứ giác ACC’A’ là hình bình hành, giao điểm I của hai đường chéo A’C và AC’ là trung điểm của mỗi đường.

Xét tam giác AA’C, các trung tuyến A’O và AI cắt nhau tại G₁. Vậy G₁ là trọng tâm của ΔAA’C cho ta OG₁/OA' = 1/3 , A’O cũng là trung tuyến của ΔBDA’ nên tỉ số OG₁/OA' = 1/3 chứng tỏ G1 là trọng tâm của tam giác BDA’.

Chứng minh tương tự đối với điểm G₂.

c) *Vì G₁ là trọng tâm của ΔAA’C nên AG₁/AI = 2/3 .

Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’

Từ các kết quả này, ta có : AG₁ = 1/3.AC’

*Chứng minh tương tự ta có : C’G₂ = 1/3.AC’

Suy ra : AG₁ = GG₂ = G₂C’ = 1/3.AC’.

d) Thiết diện chính là hình bình hành AA’C’C.