Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 4 (trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0

b) (3 - m)x² - 2(m + 3)x + m + 2 = 0

Lời giải

a) Đặt f(x) = (m - 2)x² + 2(2m - 3)x + 5m - 6

- Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2 khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành:

2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình có một nghiệm

Do đó m = 2 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có:

Δ' = (2m - 3)² - (m - 2)(5m - 6)

= 4m² - 12m + 9 - 5m² + 6m + 10m - 12

= -m² + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi Δ' < 0

⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)

Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm.

b) Đặt f(x) = (3 - m)x² - 2(m + 3)x + m + 2

- Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành:

-6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6 là nghiệm của phương trình.

Do đó m = 3 không phải là giá trị cần tìm.

- Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có:

Δ' = (m + 3)² - (3 - m)(m + 2)

= m² + 6m + 9 - 3m - 6 + m² + 2m

= 2m² + 5m + 3 = (2m + 2)(m + 3/2)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm khi và chỉ khi Δ' < 0

⇔ (2m + 2)(m + 3/2) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1)

Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.