Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Ôn tập chương 3

Bài 6 (trang 107 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n) biết u₁ = 2, u_{n+ 1} = 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a.Viết năm số hạng đầu của dãy.

b.Chứng minh u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a. 5 số hạng đầu dãy là:

u₁ = 2; u₂ = 2u₁ – 1 = 3; u₃ = 2u₂ – 1 = 5;

u₄ = 2u₃ – 1 = 9 u₅ = 2u₄ – 1 = 17

b. Chứng minh: u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1 => u₁ = 2^1-1 + 1 = 2 (đúng).

Giả sử (u_n) đúng với n = k ≥ 1

Tức là u_k = 2^k-1 + 1 (1)

Ta phải chứng minh phương trình đã cho đúng với n = k + 1 nghĩa là:

u_k+1 = 2^k+1-1 + 1 = 2^k + 1

Theo giả thiết: u_k+1 =2u_k-1

(1) u_k+1 = 2(2^k-1 + 1) – 1 = 2.2^k.2^-1 + 2 – 1 = 2_k + 1

Biểu thức đã cho đúng với n = k + 1, vậy nó đúng với n ∈ N*