I là giao điểm giữa AB và OM
=> góc OIA=90° 
kẻ đường kính AD 
=> góc ACD=90° 
Ta có : góc ACB+góc BCD =90° 
vì tứ giác ACDB nội tiếp đường tròn tâm O 
nên góc BCD= góc BAD (cùng chắn cung BD)
Mà lại có góc BAD + góc AOM =90° (do tam giác IAO vuông )
=>góc ACB = góc AOI 
Ta có : AM là tiếp tuyến đường tròn tâm O
=> góc ACB= góc MAB
=> góc AOI = góc MAB
xét tứ giác OIAP ta có 
góc AOI = góc MAB(MA là tiếp tuyến )
=> tứ giác OIAP nội tiếp 
=> góc AIO =  góc APO ( cùng chắn 1 cung)
mà góc AIO =90 ° => góc APO =90° 
xét đường tròn tâm O dây cung AC có
OP ⊥ AC
=> OP đồng thời là đường trung tuyến 
=> PA =PC(1)
VÌ MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M 
=> góc AOM = góc BOM
=> góc MOB= góc ACB
mà lại góc ACB=góc MBA
=> góc MBA=góc IOB
xét tứ giác IOQB có
góc MBA=góc IOB(MB là tiếp tuyến)
=>tứ giác IOQB nội tiếp đường tròn 
=>goc OIB= góc BQO (cùng chắn 1 cung )
mà góc OIB=90 
=> góc BQO =90 
=> OQ⊥ BC
xét đường tròn tâm O và dây cung BC có:
OQ⊥ BC
=> OQ đồng thời là đường trung tuyến 
=> QB=QC (2)
từ (1) và (2) => QP là đường trung bình của tam giác ABC 
=> QP// AB 
mà AB lại // EF(gt)
=> QP//EF
=> đpcm