Để tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + y, ta có thể giải quyết bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm x và y.
Từ hai phương trình đã cho, ta có:
(m - 1)x + y = 2    ...(1)
mx + y = m + 1      ...(2)

Giả bài toán bằng cách trừ phương trình (2) cho phương trình (1):
[(m - 1)x + y] - [mx + y] = 2 - (m + 1)
(m - 1 - m)x + (y - y) = 2 - m - 1
- x = 1 - m

Vậy x = m - 1. Đưa giá trị này vào phương trình (1) ta có:
(m - 1)(m - 1) + y = 2
m^2 - 2m + 1 + y = 2
m^2 - 2m + y - 1 = 0

Bước 2: Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị của phương trình là một điểm, tức là nó không cắt trục x. Điều này xảy ra khi phương trình trên chỉ có một nghiệm duy nhất, hay nói cách khác, biểu thức bình phương trên không có nghiệm.

Vậy để m^2 - 2m + y - 1 = 0 không có nghiệm, ta có điều kiện delta (Δ) của phương trình đó phải nhỏ hơn 0:
Δ = (-2)^2 - 4(1)(y - 1) < 0
4 - 4y + 4 < 0
-4y < -8
y > 2

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + y.
Đưa giá trị của x và y vào biểu thức ta có:
2(m - 1)^2 + y
= 2(m^2 - 2m + 1) + y
= 2m^2 - 4m + 2 + y

Vì y > 2, nên để biểu thức 2m^2 - 4m + 2 + y đạt giá trị nhỏ nhất, ta chọn y = 2, khi đó:
2m^2 - 4m + 2 + 2
= 2m^2 - 4m + 4

Để biểu thức trên đạt giá trị nhỏ nhất, ta có thể áp dụng phương pháp hoàn thành tứ diện. Chuyển đổi biểu thức thành dạng bình phương của

 một biểu thức như sau:
2(m^2 - 2m + 1) + 4 - 2
= 2(m - 1)^2 + 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2x^2 + y là 2.

Tóm lại, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) và biểu thức 2x^2 + y đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần thỏa mãn hai điều kiện: y > 2 và m = 1.