Để chứng minh rằng (b+c²-a²)/(1+b+c²)+(c+a²-b²)/(1+c+a²)+(a+b²-c²)/(1+a+b²)≤1, ta sẽ sử dụng định lý tổng quát về bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có:
[(b+c²-a²)/(1+b+c²)+(c+a²-b²)/(1+c+a²)+(a+b²-c²)/(1+a+b²)] * [(1+b+c²)+(1+c+a²)+(1+a+b²)] ≥ [(√(b+c²-a²) + √(c+a²-b²) + √(a+b²-c²))^2]

Ta biến đổi cùng phía trái của bất đẳng thức:
(b+c²-a²)/(1+b+c²)+(c+a²-b²)/(1+c+a²)+(a+b²-c²)/(1+a+b²) ≥ [(√(b+c²-a²) + √(c+a²-b²) + √(a+b²-c²))^2] / [(1+b+c²)+(1+c+a²)+(1+a+b²)]

Với a, b, c > -1, ta có: 1+b+c² > 0, 1+c+a² > 0, 1+a+b² > 0. Do đó, bất đẳng thức trên là hợp lệ.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng:
(√(b+c²-a²) + √(c+a²-b²) + √(a+b²-c²))^2 / [(1+b+c²)+(1+c+a²)+(1+a+b²)] ≤ 1

Chúng ta sẽ làm phép mở ngoặc và đơn giản hóa biểu thức bên trên:
(b+c²-a²) + (c+a²-b²) + (a+b²-c²) + 2√[(b+c²-a²)(c+a²-b²)] + 2√[(b+c²-a²)(a+b²-c²)] + 2√[(c+a²-b²)(a+b²-c²)] ≤ (1+b+c²)+(1+c+a²)+(1+a+b²)

Cắt bỏ các thành viên bị trùng và đơn giản hóa biểu thức:
2√[(b+c²-a²)(c+a²-b²)] + 2√[(b+c²-a²)(a+b²-c²)] + 2√[(c+a²-b²)(a+b²-c²)] ≤ 3

Do a, b, c > -1, ta có:
(b+c²-a²)(c+a²-b²) ≥ 0
(b+c²-a²)(a+b²-c²) ≥ 0
(c+a²-b²)(a+b²-c²) ≥ 0

Vì vậy, bất đẳng thức trên là đúng.

Do đó, ta kết luận rằng (b+c²-a²)/(1+b+c²)+(c+a²-b²)/(1+c+a²)+(a+b²-c²)/(1+a+b²)≤1 v

ới a, b, c > -1.