a. Gọi tổng hai nghiệm của phương trình là S, tính được: S = x1 + x2 = -b/a.
Vì x1 và x2 là hai nghiệm phân biệt và khác 0 nên ta có thể giả sử x1 > 0 và x2 < 0. Nhân hai vế của phương trình bằng x1x2: x1x2 + x1x2 = -c/a.
Ta có:
x1^2 + 2x1x2 + x2^2 = (x1+x2)^2 = (-b/a)^2
(x1-x2)^2 = (x1+x2)^2 - 4.x1x2 = (b/a)^2 + 4.c/a
Do đó:
x1^4 + 2x1x2(x1^2+x2^2) + x2^4 = ((x1+x2)^2)^2 - 4(x1^2x2^2)
= (b/a)^4 - 4c/a(b/a)^2 = [(b/a)^2 - 2c/a]^2.
Vậy: x1^4 + x2^4 = [(x1^2 + x2^2)^2 - 2(x1x2)^2]/2 = [(x1^2 + x2^2)^2 - c^2/a^2]/2.
Thêm vào đó, ta có: x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (b/a)^2 + 2c/a.
Từ đó, tính được: x1^4 + x2^4 = [((b/a)^2 + 2c/a)^2 - c^2/a^2]/2.
Cuối cùng, tính được: x4/(1+x4) + x4/(2+x4) = [(x1^4 + x2^4)/a^4]/(1 + (x1^4 + x2^4)/a^4) + [(x1^4 + x2^4)/a^4]/(2 + (x1^4 + x2^4)/a^4) = [(b^2/a^2 + 2c/a)^2 - c^2/a^2]/(2b^2/a^2 + 3c/a + (b^2/a^2 + 2c/a)^2 - c^2/a^2 + 2) .

b. Phương trình (m + 1)x^2 – 2(m − 1)x + m − 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi delta lớn hơn 0. Tính delta: delta = 4(m-1)^2 - 4(m+1)(m-2) = 8m - 4.
Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ∈ (-∞, 0) hoặc m ∈ (1, ∞).

c. Để chứng minh (n+1)n ≥ 2.n^n, ta sử dụng định lí Bernoulli, được phát biểu như sau:
Với m > -1 và m ≠ 0,1, ta có (1 + m)^n ≥ 1 + mn.
Ta đặt m = n và áp dụng định lí Bernoulli:
(1+n)^n ≥ 1 + n^2.
Do đó, ta có:
(n + 1)^n = [(n + 1)/n]^n . n^n ≥ (2/n) . n^n = 2n^(n-1)
Từ đó, suy ra (n+1)n ≥ 2.n^n.