a) Ta có:
- AB là tiếp tuyến của (O) nên góc BAO = góc ABC (1)
- AC là tiếp tuyến của (O) nên góc CAO = góc ACB (2)
- Từ (1) và (2), ta có góc BAC = góc ABC + góc ACB = góc BHC
- Vì CK vuông góc AB nên góc BCK = góc BAC
- Từ đó, ta có góc BCK = góc BHC
- Vậy tam giác BCK đồng dạng với tam giác BHC (theo góc)
- Từ đó, ta có: HB/HC = CK/BC (đồng dạng tam giác)
- Mà CK vuông góc AB nên CK = CK^2/AB
- Từ đó, ta có: HB/HC = CK^2/AB.BC
- Vì CK vuông góc AB nên CK^2 = CK.CD
- Từ đó, ta có: HB/HC = CK.CD/AB.BC
- Vì CK vuông góc AB nên AB = AO
- Từ đó, ta có: HB/HC = CK.CD/AO.BC
- Vì CK vuông góc AB nên BC = BO
- Từ đó, ta có: HB/HC = CK.CD/AO.BO
- Vậy HO.HA = HB.HC (theo tính chất của tứ giác nội tiếp)

b) Ta có:
- CK vuông góc AB nên CK = CK^2/AB
- Mà CK = CD nên CD = CD^2/AB
- Từ đó, ta có: AB = CD^2/CD
- Vậy CO = CD

c) Vì CO = CD nên tam giác BDCO là tam giác cân tại O.

d) Ta có:
- M là trung điểm CE nên BM song song với OK (do M và E cùng nằm trên đường tròn (O))
- Vậy BM cắt OK tại điểm vô hạn, do đó I là trung điểm OK.